HELP! Tige de remontoir pour mouvement ETA 2452

Bonjour à tous,
Que je vous explique mon problème :

Je viens d’acquérir la montre de mes doux rêves : une Jaquet Droz Caribbean 1000m.
Seulement voilà, j’ai un problème avec la tige de remontoir.
Celle-ci ne se bloque plus et sort dès que je tire sur la couronne, ce qui donne un truc étrange : soit je la remets et je peux changer l’heure ou soit je ne peux que la remonter.
(Cela par le plus grand des hasards)

Etant un total béotien en matière d’horlogerie pure, j’avais une question à vous soumettre avant de filer chez mon horloger :

Les tiges de remontoir sont-elles identiques pour un même mouvement, en l’occurence un ETA 2452.
Par exemple, une tige de Jenny 1000m est-elle identique à celle d’une Jaquet Droz (pour le même mouvement)

Si je vous pose cette question, c’est que j’ai vu sur la Baie US, un type qui vend des tiges de remontoir pour Jenny ETA 2452 qui ne ressemblent en rien
à celle sur ma montre….
Alors, je me dis que peut-être qu’il s’agit d’un bidouillage et que ma montre n’a tout simplement pas la bonne tige….

Dois-je me procurer cette pièce?

Merci d’avance pour vos lumières!