Besoin d’aide sur un exercice de calcul (horlogerie)

[Mitch31]

Bonsoir à tous,

Je travaille en ce moment sur le livre Théorie d’horlogerie (très bon ouvrage au passage, très clair et accessible), je suis débutant dans le domaine et je me suis arraché les cheveux sur un exercice proposé (5.5.1, mais il y en a d’autre du même acabit).
Il s’agit d’appliquer la ou les formules apprises pour déterminer le nombre de dents de roues ou pignons dans un rouage de minuterie.

L’exercice est le suivant :

Avec Z1 = nombre de dents de la chaussée, Z2 roue de minuterie, Z3 pignon de minuterie, Z4 roue des heures, n1 = nombre de tours de chaussée et n4 nombre de tours de roue des heures.

La formule du chapitre est la suivante : n4/n1=Z1xZ3/Z2xZ4

Alors même si je ne suis pas une brute en mathématique je me rends bien compte qu’il y a deux inconnues à déterminer et une seule équation, ce qui finit par bloquer à un moment ou un autre. En bricolant un peu j’ai fini par tomber sur des résultats genre Z2=Z2 ou Z4=Z4, ce qui, même si c’est très vrai, ne m’avance pas des masses
J’ai essayé sans succès avec d’autres formules du chapitre … mais je crois qu’il y a un truc qui m’échappe.

Les solutions sont proposées sans explication et je n’arrive pas à savoir comment les trouver (sauf en faisant des essais au pif mais la méthode me semble peu académique).

En revanche j’ai remarqué un motif qui se répète, c’est Z2 = Z1x3 et Z4=Z3x4.
4×3 = 12 qui est aussi le rapport de transmission entre la chaussée et la roue des heures … je sens qu’il y a un truc là, du coup j’en viens à me demander s’il ne me manque pas des notions du métier comme une norme dans le nombre de dents possibles pour une roue ou un pignon ou quelque chose qui ferait intervenir le pas linéaire des roues, l’âge du capitaine .. bref, je suis paumé.

Si l’un ou l’une d’entre vous pouvait m’éclairer sur le sujet ce serait top, je dormirai plus sereinement

Merci !

[Fulgurochat]

En supposant deux choses (qui ne sont pas des évidences, mais qui nous arrangent pour des raisons techniques) :
– Le nombre de dents est entier, et positif
– Le rapport de rouage entre minute et heure vaut 12 (même s’il y a 24 heures dans la journée)

Si :
Zc est le nombre de dents à la chaussée
ZM le nombre de dents de la roue de minuterie
Zm le nombre de dents du pignon de minuterie
Zh le nombre de dents de la roue des heures

On doit avoir Zc / ZM . Zm / Zh = 1/12 (la chaussée engrène sur le mobile de minuterie, qui engrène sur la roue des heures)

Cas A : Zc = 12 et Zm = 11
Ce qui nous donne ZM.Zh = 1584. Tu as une infinité de solutions MAIS en vertu du nombre entier de dents, il n’en reste que quelques unes mathématiquement viables, que l’on peut réduire à deux ou trois horologiquement viables.
Les couples d’entiers (ZM;Zh) qui vérifient le produit sont :
(1;1584)
(2;792)
(3;528)
(4;396)
(6;264)
(8;198)
(9;176)
(11;144)
(12;132)
(16;99)
(18;88)
(22;72)
(24;66)
(33;48)
(36;44)
Ils sont TOUS corrects mathématiquement, mais en PRATIQUE, on préférera des rapports pas trop différents, soient (33;48) ou (36;44)
Pour différentes raisons tu peux préférer l’une ou l’autre des solutions (taillage compatible avec une complication, etc.) mais en général on préfère rester sur des dimensions de roues raisonnables, en évitant les roues à plus de 50 dents si possible et les pignons en dessous de 8 dents, voire 12 si on veut pas trop de jeu.

[Fulgurochat]

Pour la C je vais même proposer une autre solution un peu plus cavalière
Zc = 15 et Zh = 60
On déduit immédiatement que ZM / Zm = 3
Il nous faut juste un mobile de minuterie dont la roue a trois fois plus de dents que le pignon. Facile non ? 24 et 8 ça marche très bien.

Mais je suis horloger, et je n’ai pas envie de racheter des fraises pour tailler 2 types d’engrenages différents pour ma minuterie, alors je vais m’arranger pour que les modules (rapport du diamètre sur le nombre de dents, soit l’espace entre deux dents normalisé à 2 pi) soient identiques ou très proches entre mes deux engrenages.

En gros je veux que Zc + ZM = Zm + Zh. De cette façon, les diamètres de toutes mes pièces sont directement en rapport à leur denture et je peux tout tailler avec une seule fraise.
Et la solution qui correspond le mieux est ZM = 69 , Zm = 23.

Zc engrène sur ZM, l’entraxe vaut 1/2 . (15 + 69) . module
Zm engrène sur Zh, l’entraxe vaut 1/2 . (23 + 60) . module
Les deux ne diffèrent que de 1,2 % c’est pas trop mal.
Un peu cavalier quand même

[dzef]

@Fulgurocha,

Merci pour cette démonstration.
C’est certainement une question qui taraude certains d’entre nous.
En tout cas pour moi c’était le cas.
Comme quoi Fam pour des béotiens c’est parfait et comme Mitch31 je dormirai plus sereinement
Olivier

[caput]

CQFD

[Mitch31]

Merci Fulgurochat pour cette réponse détaillée !

Comme je le redoutais il n’y a donc pas de formule qui permette de trouver mathémagiquement la solution …

Alors ce n’est pas un problème en soi, toute discipline à ses normes et ses complexités, mais je trouve dommage que ça ne soit pas expliqué dans ce livre, qui est pourtant par ailleurs de très bonne qualité !

Merci

[MisterP]

Si tu aimes ce genre de trucs, plonge toi dans l’arbre de Brocot, « Calcul des rouages par approximation », dispo en pdf sur le web.

http://culturemath.ens.fr/histoire%20des%20maths/htm/Brocot/Brocot.html

Dispo aussi vers la fin du livre de Chavigny « Les Brocot », aux Ed Simonin.

[Auteur]

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